傅立叶变换，这个被畴昔讹诈于科学、工程和数学的巨大器具色姐姐激情网，时时被和洽为一种从时域到频域的调遣机制。但要真实掌捏它，咱们需要进一步剖析其背后的数学道理。

令f为一个由R到R的函数。在典型情况下对于f并莫得什么可说的，关联词有些函数具有有用的对称性质。举例，若对于每一个x都有f(-x)=f(x)，就说f是一个偶函数，而若对每一个x有f(-x)=-f(x)，就说f是一个奇函数。进一步说，每一个函数都不错写成一个偶函数f_e（称为f的偶部）和一个奇函数f_o（称为f的奇部）的重叠。举例，函数

苏畅麻豆

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既不是偶的，也不是奇的，关联词，它不错写成

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其中

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对于一般的函数f，这种认识是独一的，而由公式

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和

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给出。

偶函数和奇函数有什么样的对称性呢？底下是一个对待它们的有用的要领。有一个由实数轴上的两个变换组成的群：一个变换是恒等变换：

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另一个是反射：

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实轴上的任性变换Φ都会开发出界说在实轴上的函数的变换如下：给定一个界说在实轴上的函数f，变换后的函数等于g(x)=f(Φ(z))。对于刻下的情况，若

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则变换后的函数是等于f(x)自身，而若Φ=p，则取得f(-x)。若f是偶函数或奇函数，则变换后的函数是蓝本函数f的标量倍数。非凡是若Φ=p，则当f为偶函数时，变换后的函数仍为f(x)，而作为倍数的标量是1；当f为奇函数时，则变换后的函数是-f(x)而这个标量是-1。

上头描摹的经过不错看作是傅里叶变换的一般认识的很浅易的原型。绝顶畴昔地讲，一个傅里叶变换等于一种把绝顶“一般”的函数认识为“对称”函数的重叠的系统要领。这些对称的函数时时都是显式界说的，举例，最环节的等于认识为三角函数 sin(nx)和cos(nx) 的线性组合，它们也时时与频率和能量这些物理认识联系。对称性一般是与一个群G相磋商的，这个群又时时是阿贝尔群（在上头的例子中，它是一个含两个元素的群）。

阿贝尔群的特色在于，它称心交换律，也等于说，不管奈何调换元素的运算公法，运算收尾都是调换的。

说确凿，傅里叶变换是研究群的表面，准确一些说是研究群暗示表面的基本器具，这个表面温煦的等于一个群不错奈何在不同方法下动作是对称群。傅里叶变换也与线性代数的一些主题联系，举例，向量之暗示为步伐正交基底的线性组合，大约暗示为一个矩阵或线性算子的本征向量的线性组合。

当今来看一个相比复杂的例子。固定一个正整数n，咱们要给出一个把由C到C的函数，即复平面上的复函数加以认识的系统要领。若f是这么一个函数，而j是介于0到n-1间的整数，咱们说f是一个j阶谐振子，要是它有以下的性质：

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即若ω是1的一个n阶本原单元根：

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这时，对于任性的复数z∈C，有

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正式，若n=2，则ω=-1，是以若j=0就会回到偶函数的界说，而若j=1，就回到奇函数的界说。事实上，受到这件事的启发，就会取得把f认识为谐振子的一般公式，而这种伸开亦然独一的。其作法如下：若界说

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则诠释对于任性复数z∈C有

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仅仅一个浅易的习题，何况还有

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这么，f不错认识为谐振子之和。这等于一个傅里叶变换，而与它相磋商的群等于n阶单元原根：

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即n阶轮回群。

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当今筹商无限群。令f为界说在单元圆周T上的一个复函数。为了幸免一些手艺上的问题，假定f为光滑的，即无限可微的。要是f是一个体式浅易的函数

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n是一个整数，而c是一个常数，则f有n阶的旋转对称性。即是说，若再令

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则对于任性复数z∈C，f(ωz)=f(z)。从前边的例子看到，并不瞻仰，任性光滑函数f都不错暗示为这种旋转对称函数的重叠。事实上，有

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数

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称为f在频率为n处的傅里叶总共，而由下式给出：

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这个公式不错看作是上头fj(z)的公式，当z限制在单元圆周上且n趋于无限时的极限。它也不错看作是全纯函数的泰勒级数的实际：若f在闭单元圆盘上是全纯的，则有

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而泰勒总共an由下式给出

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一般说来，傅里叶分析与复分析有很精细的磋商。

全纯函数（又称领悟函数或正规函数）是复分析中的基本认识。它是在复数域上界说并称心某些秉性的函数。

给定复变量 z，要是函数 f(z) 在其界说域内的每少许都存在复导数，那么这个函数就称为全纯函数。浅易地说，全纯函数等于在其界说域内处处可微的复函数。

要是f是光滑的，则其傅里叶总共衰减于0绝顶快，而很容易诠释其傅里叶级数

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关联词，要是f不是光滑的（举例仅仅陆续的），问题就奥秘多了，这时必须仔细笃定这个级数敛迹的的确的意旨。骨子上和洽分析的相配一部分等于在照看这一类问题，以及处治这类问题所需的器具。

与傅里叶分析的这种讲法联系的群是圆周的群T。正式，咱们既把数

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动作圆周上的少许，又把它动作旋转一个角θ。这么，这个圆周和它的旋转对称群不错等同起来。关联词还有第二个群在这里也很环节，即扫数整数所成的加法群Z。要是取两个基本的对称函数z^m和z^n并把它们乘起来，就会取得z^（m+n），是以映射

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等于由Z到这些函数在乘法下所成的群的同构。群Z就称为T的庞特里亚金对偶。

在偏微分方程以及和洽分析的联系限度里，最环节的傅里叶变换是界说在欧几里得空间R^d上的。在扫数的函数

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取平面波：

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为“基本的”函数，这里ξ∈R^d是一个向量（称为平面波的频率），x·ξ是位置向量x和频率向量ξ的数量积，

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正式，形如

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是正交于向量ξ的（超）平面，在每一个这么的皆集上，平面波f(x)取常数值，而f在H_λ上的值与在H_λ+2π上的值调换。平面波一词即由此而来。不错诠释，若f相配“好”(举例是光滑的，何况当x变大时衰减到0相配快)，它就不错独一地暗示为平面波的重叠，不外这里的“重叠”要用一个积分而不是乞降来暗示。更的确地说，有

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其中

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而前一个公式则称为逆傅里叶变换公式。这两个公式告诉咱们奈何从蓝本的函数求出其傅里叶变换，以及相悖。咱们不错把

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不错诠释，当f相配“好”的时间，论证这些积分的敛迹性毫无繁重，关联词当f相比鄙俚大约衰减得不太快的时间，这些问题又变得很奥秘，在R^d上的傅里叶变换的情况下，联系的群是欧几里得群R^d

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还要正式，当今位置x和频率ξ都含于R^d内，是以R^d在这个配景下，恰是我方的庞特里亚金对偶。

傅里叶变换的一大用途是用它来和洽作用在函数上的多样算子，举例，R^d上的拉普拉斯算子，给定一个函数f:R^d→C，拉普拉斯算子△f的界说是

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这里把向量x写要素量局势，而把f动作d个实变量的函数：

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为了幸免手艺细节，只筹商那些充足光滑使得上式特地旨而不产生繁重的情况。一般说来，一个函数f和它的拉普拉斯算子△f之间并无显明的关系。关联词，若f是平面波

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则二者有显明的关系：

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等于说拉普拉斯算子作用在平面波上的收尾等于把它乘以标量：

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换句话说，

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（一般说来，平面波将是任性与平行出动可交换的线性算子的本征函数）。是以，透过傅里叶变换的棱镜来看拉普拉斯算子是很浅易的：傅里叶变换使咱们能把任性的函数写成平面波的重叠，而拉普拉斯算子在每一个平面波上的收尾又很浅易，讲了了少许，等于

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此式给出了拉普拉斯算子作用在一般函数上的公式。在这里交换了拉普拉斯算子与积分的顺序，对于合适好的函数，这是不错严格论证的，关联词咱们略去细节。

这个公式把△f暗示为平面波的重叠。此外，逆傅里叶变换的公式又告诉咱们

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关联词，一个函数暗示为平面波的重叠的要领是独一的，是以

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这一个事实虽然也不错由傅里叶变换的界说径直导出，这个恒等式阐述，傅里叶变换把拉普拉斯算子对角化，等于说，从傅里叶变换看来，对某个函数施加拉普拉斯算子，无非等于把这个函数的傅里叶变换F(ξ)乘以乘子

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换言之，拉普拉斯算子不错动作一个傅里叶乘子。这句话的趣味趣味是，要是想要计较拉普拉斯算子对于一个函数的作用，不错先取这个函数的傅里叶变换，乘上乘子，再取逆傅里叶变换。这个不雅点使得拉普拉斯算子的操作变得很容易。举例，不错迭次使用这个公式来计较拉普拉斯算子的各次幂：

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事实上，当今仍是不错界说拉普拉斯算子的愈加一般的函数。举例，不错取拉普拉斯算子的平方根如下：

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这就会指引到分数阶微分算子表面，还有更一般的函数演算表面，在其中，咱们从某一个算子（如拉普拉斯算子）初始，然后研究这个算子的多样函数，举例平方根、指数、倒数，等等。

正如上头的照看所标明的那样，傅里叶变换不错用来发展很多道理的运算，而这对于微分方程表面有非凡的环节性。为了灵验地分析这些运算，需要傅里叶变换的各样揣测。举例，了解一个函数f的用某种范数暗示的大小，与其傅立叶变换的可能用其他范数来暗示的大小的关系，这时时是环节的。对于这少许的进一步照看可见要求函数空间。这种类型的揣测中非凡环节而又惊东说念主的是普兰舍利公式

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它标明，一个函数的傅里叶变换的L₂范数与蓝本函数的L₂范数偶合特别。是以，傅里叶变换是一个酉变换，因此不错把一个函数的频率空间暗示动作是它的物理空间暗示的某种意旨的旋转。

在线性代数中，一个酉变换（Unitary Transformation）是一个保持向量内积不变的线性变换，也等于说，要是你有两个向量，在变换前后，它们的内积保持不变。

发展与傅里叶变换以及联系算子的进一步的揣测是和洽分析的很大一个部分。普兰舍利恒等式的一个变体的傅里叶变换的卷积公式

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这个公式使咱们能用两个函数f和g的傅里叶变换来分析它们的卷积

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非凡是，若f或g的傅里叶变换很小，则咱们不错欲望它们的卷积f*g也很小。这个关系意味着傅里叶变换阻挡了一个函数和它我方以及和其他函数的某些联系性，这就使得傅里叶变换成了研究立地性以及概率表面、和洽分析和数论中的其他对象的均匀分袂性质的环节器具。举例，咱们不错跟从这个念念想来设置中心极适度理，这个定理标明很多孤苦立地变量的和最终会像是一个高斯分袂；咱们以致不错用这个要领来诠释维诺格拉多夫定：任性充分大的奇数都是三个素数之和。

以上这些念念想不错在多个方进取实际。举例，不错用相比一般的算子代替拉普拉斯算子，用这个算子的（广义）本征函数代替平面波，这么就取得谱的表面和函数演算。也能空洞地研究傅里叶乘子的代数，这就指引到C'-代数。还不错越出线性算子表面来研究双线性、多线性以致齐备非线性算子，这非凡会指引到仿积的表面。仿积是点态乘积运算(f(x)，g(x))→fg(x)的实际，它在微分方程中有环节性。

在另一个方进取，也能用更一般的群来代替R^d，这时，平面波的认识就会被群特征标认识（在阿贝尔群的情况）取代，大约被群的暗示（在非阿贝尔群的情况）所取代。傅里叶变换还有其他变体，如拉普拉斯变换、梅林变换，它们在代数上很像傅里叶变换，何况作用也相同（举例，拉普拉斯变换在微分方程上所起的作用）。咱们仍是看到傅里叶变换与泰勒级数联系，它还与其他环节的级数伸开式有磋商，需要提到的有狄利克雷级数，以及函数按特殊多项式的级数伸开，举例，按正交多项式或球面和洽的伸开式。

傅里叶变换是把函数分红很多要素，而每一个要素偶合有一个准确的频率。但在有些讹诈中，接受一种相比“迟滞”的阶梯更为有用。这时色姐姐激情网，函数被认识成的要素数量要少一些，关联词每一个要素所含的频率组成一个频段，而不是单个频率。这么一种认识有一个上风，等于受到不笃定性道理的限制较少，因为按照不笃定性道理，一个函数尽头傅里叶变换不行能同期局限在R4的很小的区域里。这么会导致傅里叶变换的某些变体，如小波变换，它对很多讹诈数学和计较数知识题更为允洽，也对某些和洽分析和微分方程的问题更为允洽。对于量子力学起基本作用的不笃定性道理也把傅里叶变换与数学物理磋商起来，非凡是经典物理和量子物理的磋商，不错通过几何量子化和微局部分析的要领作严格的研究。

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